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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 26

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x ,     y = x 2 - 2

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a area entre as curvas

y = x y = x 2 - 2

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Veja só!

Passo 2

O esboço da região limitada pelas curvas:

{ y = x   y = x 2 - 2 }

Podemos esboçar um retângulo cuja área seja aproximadamente a área delimitada pelas curvas:

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para calcular a área exata da região delimitada pelas curvas, vamos antes analisar a região em função da integral das funções:

A = ∫ - 2 2 x d x - ∫ - 2 2 x 2 - 2 d x

Bora lá!

Passo 4

Então, a área da região limitada pelas curvas A é:

A = ∫ - 2 2 x d x - ∫ - 2 2 x 2 - 2 d x

A = ∫ - 2 2 x d x - ∫ - 2 2 x 2 d x - ∫ - 2 2 2 d x

Calculando as integrais e aplicando os limites de integração...

A = x 2 2 2 - 2 - x 3 3 2 - 2 - 2 x 2 - 2

A = 2 2 2 - ( - 2 ) 2 2 - 2 3 3 - - 2 3 3 - 2 2 - 2 ( - 2 )

A = 4 2 - 4 2 - 8 3 - - 8 3 - ( 4 + 4 )

Simplificando...

A = 0 - 8 - - 8 3 - 8 = - 8 + 8 3 - 8 = - 16 3 - 8 = - 16 - 24 3 = - - 8 3

A = 8 3

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = 8 3

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