Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

45 . f(x) = x^4 - 3x^3 + 16x

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Queremos encontrar a primeira e a segunda derivada da função

f x =   x 4 - 3 x 3 + 16 x

Basicamente o que precisamos fazer é derivar a função uma vez, então iremos encontrar f ' ( x ) e depois iremos derivar f ' x e assim encontraremos f ' ' ( x ) .

Para fazermos isso, iremos utilizar a regra de derivação para polinômios:

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

Para derivar uma função polinomial basta derivar cada parcela, assim:

f ' x = x 4 ' + - 3 x 3 ' + 16 x 1 '

Aplicando a regra:

f ' x = 4   x 4 - 1 + - 3 .   3 x 3 - 1 + 16 x 1 - 1

Simplificando:

f ' ( x ) = 4 x 3 - 9 x 2   + 16 . x 0  

Temos então:

f ' ( x ) = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

Para acharmos a segunda derivada basta derivarmos a primeira derivada f ' ( x ) , assim:

f ' ' x = 4 x 3 ' + - 9 x 2 ' + 16 '

Aplicando a regra:

f ' ' x = 4 3 x 3 - 1 + - 9 2 x 2 - 1 + 0

Temos então:

f ' ' ( x ) = 12 x 2 - 18 x

Resposta

f ' ( x ) = 4 x 3 - 9 x 2 + 16

f ' ' x = 12 x 2 - 18 x

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