Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = 0, y = sen(x), 0 ≤ x ≤ pi; e mt = 1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos encontrar a integral de volume do solido gerado pelas curvas dadas em torno da reta y = 1 .

Parece complicado?

Primeiro vamos esboçar a região sabendo que está limitada entre as curvas y = t g 3 x e y = 0 .

Logo, a região que será rotacionada é:

Vamos esboçar o sólido formado:

Show?

Passo 2

O disco interior tem raio r = 1 - s e n   x , e o disco exterior tem raio R = 1 .

A área da secção transversal então é:

A x = π 1 2 - 1 - s e n   x 2

Bora lá!

Passo 3

O volume do sólido é dado pela expressão:

V = ∫ 0 π A x d x

Se A x =   π 1 2 - 1 - s e n   x 2

V = π ∫ 0 π 1 2 - 1 - s e n   x 2 d x

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Resposta

V = π ∫ 0 π 1 2 - 1 - s e n   x 2 d x

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