Enunciado

Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.

r ≥ 0 ,     π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Passo 1

Para esboçar a região no plano cujas coordenadas polares satisfazem r ≥ 0 e π 4 ​ ≤ θ ≤ 3 π 4 ​, vamos considerar as coordenadas polares e analisar cada condição.

1° Condição:

Para r ≥ 0 significa que a distância r do ponto à origem deve ser maior ou igual a zero. Portanto, incluímos todos os pontos dentro e fora do círculo com centro na origem e raio infinito.

2° Condição:

Para e π 4 ​ ≤ θ ≤ 3 π 4 indica que o ângulo polar θ deve estar no intervalo e π 4 ​ a 3 π 4 ​, ou seja, entre 45 ° e 135 ° . Isso forma um setor circular centrado na origem, limitado pelos raios que formam esses ângulos.

Temos de acordo com o enunciado:

r ≥ 0

π 4 ≤ θ ≤ 3 π 4

Onde π 4 equivale a 45° e 3 π 4 equivale a 135°.

Passo 2

Vamos entender como será o gráfico?

O gráfico será uma regiçaõ triangular no plano cartesiano, o eixo x representa a direção horizontal e o eixo y a diração vertical do plano cartesiano.

Que tal algumas características do gráfico. Se liga!

A região triangular é definida pelas seguintes características:

- Inclui todos os pontos à direita do eixo y , pois x ≥ 0

- Limitada pelo eixo x (onde x = 0 ) à esquerda.

- Limitada pela linha 𝑦=𝑥y=x inclinada a 45 graus no primeiro quadrante.

- Limitada pela linha 𝑦=2𝑥y=2x inclinada a 45 graus no primeiro quadrante.

Visualmente, o gráfico será uma área triangular no primeiro quadrante do plano cartesiano.

- A base da região será o eixo x , enquanto o lado direito será definido pela linha y = 2 x e o lado esquerdo pela linha y = x

- A região se estende até infinito ao longo do eixo x e y .

A região triangular é preenchida, indicando que todos os pontos dentro dela satisfazem as condições em que o ângulo será entre π 4 ​ a 3 π 4 ​,

Desta forma a região no plano descrita é:

E ai, gostou? Então até a próxima!

Resposta

O gráfico é uma região triangular no primeiro quadrante, limitada pelos eixos x e y e pela linha y = 2 x , incluindo a origem.

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