Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades e estão relacionadas linearmente, isto é, , pelo menos aproximadamente, para alguns valores de e . O cientista realiza um experimento e coleta dados na forma dos pontos , ... e depois plota esses pontos. Os pontos não estão exatamente em uma linha reta; portanto, o cientista deseja induzir constantes e para que a linha "seja" os pontos da melhor forma possível (veja a figura).

Seja o desvio vertical do ponto da linha. O método dos mínimos quadrados determina e de modo a minimizar em , a soma dos quadrados desses desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a linha de melhor ajuste é obtida quando

Para encontrarmos o ponto critico vamos pegar a derivada parcial:

Podemos passar a derivada para dentro do somatório:

Derivando com relação a , teremos

Agora igualamos a derivada a :

Podemos aplicar o somatório em cada termo separadamente:

Que pode ser escrito:

Que é igual ao da questão:

Bom, fazendo o mesmo em , teremos

Igualando essa derivada a zero e dividindo todos os termos por 2, teremos:

Logo,

Pronto, chegamos na equação pedida no enunciado.

Essas equações garantem o melhor ajuste.