Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 59
Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades e estão relacionadas linearmente, isto é, , pelo menos aproximadamente, para alguns valores de e . O cientista realiza um experimento e coleta dados na forma dos pontos , ... e depois plota esses pontos. Os pontos não estão exatamente em uma linha reta; portanto, o cientista deseja induzir constantes e para que a linha "seja" os pontos da melhor forma possível (veja a figura).
Seja o desvio vertical do ponto da linha. O método dos mínimos quadrados determina e de modo a minimizar em , a soma dos quadrados desses desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a linha de melhor ajuste é obtida quando
Passo 1
Bom galera, aqui a questão está nos dizendo que o objetivo do método dos mínimos quadrados é encontrar os valores de e que minimizam a função
Onde .
Portanto, a função pode ser escrita como função desses parâmetros e :
Logo, se queremos minimizar , devemos encontrar os seus pontos críticos. Os pontos críticos são encontrados quando fazemos
Esse será o nosso ponto de partida!
Passo 2
Para encontrarmos o ponto critico vamos pegar a derivada parcial:
Podemos passar a derivada para dentro do somatório:
Derivando com relação a , teremos
Agora igualamos a derivada a :
Podemos aplicar o somatório em cada termo separadamente:
Que pode ser escrito:
Que é igual ao da questão:
Passo 3
Bom, fazendo o mesmo em , teremos
Igualando essa derivada a zero e dividindo todos os termos por 2, teremos:
Logo,
Pronto, chegamos na equação pedida no enunciado.
Essas equações garantem o melhor ajuste.
Resposta
Demonstração