Enunciado
Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 19
Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral:
com um erro de magnitude inferior a através da:
- Regra do trapézio
- Regra de Simpson
Passo 1
A integral numérica serve para que calculemos a solução de uma integral cuja primitiva não tem forma elementar. Para isso, dividimos o intervalo dado em subintervalos e aplicamos regras que aproximem o resultado para o valor real da integral. Para sabermos quantos subintervalos são necessários, usamos as seguintes equações:
- Para o critério de parada da regra do trapézio temos a equação:
- De forma análoga, a fórmula de erro para a regra de Simpson é:
Sendo , estando c contido no intervalo, os limites do intervalo e o número de subintervalos. Para descobrirmos o número de subintervalos, substituímos a condição que: , que é o critério de parada, e isolamos n.
Invertendo as frações e o sinal da inequação, temos:
Isolando da mesma forma que no passo anterior, teremos:
Com a diferença de que M será
Passo 2
Solucionando o item a:
Calculando o valor de M, substituindo c pelo valor inferior do intervalo. Como estamos falando de quantidade de pontos necessários, o sinal é desconsiderado.
Substituindo o valor na regra do erro do trapézio, temos:
Para , podemos simplesmente usar .
Passo 3
Solucionando o item b:
Para o valor de M, usando o mesmo ponto e como estamos falando de quantidade de pontos, necessários, o sinal é desconsiderado, teremos:
Substituindo, teremos:
Para que n seja aplicável a regra de Simpson, e necessário que seja par, pois a aproximação por parábolas é feita por pares de pontos. Logo: