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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.3 - Ex. 10

Como no exercício 9 , considere uma mola com uma massa m presa a ela, constante da mola k e constante de amortecimento c = 0 , e seja ω = k / m . Se uma força externa F t = F 0 c o s ⁡ ( ω t ) for aplicada (a frequência aplicada é igual à frequência natural), use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa é dado por:

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t + F 0 2 m ω t   s e n ( ω t )

Passo 1

Olá, tudo bem? Conforme visto na questão 9 a solução x h ( t ) vai ser:

x h t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t

Precisamos determinar uma solução particular. A frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema, então uma solução tentativa vai ser t multiplicando uma combinação de seno e cosseno:

x p t = t [ A c o s ω t + B s e n ω t ]

Passo 2

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função x p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

x p ' t = A c o s ω t + B s e n ω t + t [ - ω A s e n ω t + ω B c o s ω t ]

x p ' ' t = - ω A s e n ω t + ω B c o s ω t + - ω A s e n ω t + ω B c o s ω t + t [ - ω 2 A c o s ω t - ω 2 B s e n ω t ]

Resgatando a equação diferencial integral e substituindo x p ,   x p '   e x p ' ' na equação diferencial temos:

m 2 ω B - ω 2 A t cos ⁡ ω t - m 2 ω A - ω 2 B t sen ⁡ ω t + k A t c o s ω t + k B t s e n ω t = F 0 c o s ⁡ ( ω t )

Igualando os coeficientes temos o valor de B :

2 m ω B = F 0 ∴ B = F 0 2 m ω

E também o valor de A :

- 2 m ω A = 0 ∴ A = 0

Passo 3

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 1 temos a solução x h e do passo 2 temos x p .

x ( t ) = x h t + x p ( t )

Substituindo os resultados teremos:

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t + F 0 2 m ω s e n ( ω t )

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

x t = c 1 cos ⁡ ω t + c 2 s e n ω t + F 0 2 m ω s e n ( ω t )

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Use a substituição introduzida no Problema 34 da Seção 3.3 para resolver a equação diferencial dada.
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