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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 29

Nos Exercícios 29-32, determine o centroide da placa fina limitada pelos gráficos das funções dadas. Use as Equações 6 e 7 com δ = 1 e M = área da região coberta pela placa.

29 – g x = x 2 e f x = x + 6

Passo 1

Primeiramente vamos descobrir os limites de integração, igualando as duas funções e calculando as suas raízes:

f x = g x ; x + 6 = x 2

x 2 - x - 6 = 0

Utilizando a fórmula:

x = - b ±   b 2 - 4 a c 2 a

x = 1 ±   ( - 1 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 6 ) 2 ⋅ 1 = 1 ± 1 + 24 2 = 1 ± 25 2 = 1 ± 5 2

x ' = 1 - 5 2 = - 4 2 = - 2

x ' ' = 1 + 5 2 = 6 2 = 3

Plotando o gráfico das funções:

Queremos descobrir a área. Para isto será utilizado a integral.

Passo 2

M =   ∫ - 2 3 f x - g x d x = ∫ - 2 3 x + 6 - x 2 d x = - x 3 3 + x 2 2 + 6 x - 2 3

Aplicando os limites de integração e achando M

M = - 3 3 3 + 3 2 2 + 6 ⋅ 3 - - ( - 2 ) 3 3 + ( - 2 ) 2 2 + 6 ⋅ - 2 = - 27 3 + 9 2 + 18 - 8 3 + 4 2 - 12

Assim:

M = - 9 + 9 2 + 18 - 8 3 - 2 + 12 = - 9 + 9 2 + 2 8 - 8 3

m m c   2,3 = 6

M = - 54 + 27 + 168 - 16 6 = 125 6

Passo 3

Agora descobriremos o centro para coordenada x:

x - = δ M ∫ - 2 3 x x + 6 - x 2 d x = 1 125 6 ∫ - 2 3 x 2 + 6 x - x 3   d x

x - = 6 125 x 3 3 + 6 x 2 2 - x 4 4 - 2 3

Resolvendo os limites de integração:

x - = 6 125 3 3 3 + 6 ⋅ 3 2 2 - 3 4 4 - - 2 3 3 + 6 ⋅ - 2 2 2 - - 2 4 4

x - = 6 125 9 + 27 - 81 4 + 8 3 - 12 + 4 = 6 125 ⋅ 125 12 = 1 2

Passo 4

y - = δ M ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2   d x

y - = 1 125 / 6 ∫ - 2 3 1 2 x + 6 2 - x 2 2   d x

y - = 3 125 ∫ - 2 3 x 2 + 12 x + 36 - x 4   d x = 3 125 x 3 3 + 6 x 2 + 36 x - x 5 5 - 2 3

Resolvendo os limites de integração:

y - = 3 125 3 3 3 + 6 ⋅ 3 2 + 36 ⋅ 3 - 3 5 5 - - 2 3 3 + 6 ⋅ - 2 2 + 36 ⋅ - 2 - - 2 5 5

y - = 3 125 9 + 54 + 108 - 243 5 - - 8 3 + 24 - 72 + 32 5

y - = 3 125 9 + 54 + 108 - 243 5 + 8 3 - 24 + 72 - 32 5

y - = 3 125 500 3 = 1500 375 = 4

Passo 5

Desta forma o centro da massa será : x - , y - = 1 2 , 4

Resposta

1 2 , 4

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