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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 52

Exercício: 52 – Calcule o problema de valor inicial determinando x e função de t:

3 t 4 + 4 t 2 + 1 d x d t = 2 3   ,     x 1 = - π 3 4

Passo 1

Para resolver este problemas primeiro precisamos achar x, observe:

3 t 4 + 4 t 2 + 1   d x   = 2 3 d t

d x = 2 3   d t 3 t 4 + 4 t 2 + 1

x = 2 3 ∫ 1 3 t 4 + 4 t 2 + 1 d t

x + C 1 =   2 3 ∫ 1 3 t 4 + 4 t 2 + 1 d t

Fatorando os termos:

Assim:

3 t 4 + 4 t 2 + 1 = ( t 2 + 1 ) ( 3 t 2 + 1 )

Observe que x será a integral da função apresentada, desta forma:

x =   ∫ 1 ( t 2 + 1 ) ( 3 t 2 + 1 ) d t

Passo 2

Utilizando pelo método de frações parciais:

1 t 2 + 1 3 t 2 + 1 = A t + B t 2 + 1 + C t + D 3 t 2 + 1

Tirando mmc:

1 t 2 + 1 3 t 2 + 1 = A t + B 3 t 2 + 1 + ( C t + D ) ( t 2 + 1 ) t 2 + 1 3 t 2 + 1

Poderemos simplificar os denominadores e ficaremos com:

1 = A t + B 3 t 2 + 1 + ( C t + D ) ( t 2 + 1 )  

Realizando a forma distributiva:

1 = 3 A t 3 + A t + 3 B t 2 + B + C t 3 + C t + D t 2 + D

Agrupando os conjuntos:

1 = 3 A + C t 3 + 3 B + D t 2 + A + C t + B + D

Assim formamos o sistema de equações:

3 A + C = 0 B + D = 0 A + C = 0 B + D = 1

Resolvendo assim, teremos:

A ,   B ,   C ,   D = 0 , - 1 2 ,   0 , 3 2

0 t - 1 2 t 2 + 1 + 0 t + 3 2 3 t 2 + 1 =   - 1 t 2 + 1 + 3 2 ( 3 t 2 + 1 )

2 3 ∫ - 1 2 ( t 2 + 1 ) + 3 2 3 t 2 + 1 d t = 3 ∫ - 1 t 2 + 1 + 3 3 t 2 + 1 d t

Passo 3

3 ∫ - 1 t 2 + 1 + 3 3 t 2 + 1 3 d t = 3 - ∫ 1 t 2 + 1 d t + ∫ 1 t 2 + 1 3 d t

Resolvendo as integris:

3 - t g - 1 t +   3 ⋅ t g - 1 ( 3 t )

x =   - 3 t g - 1 t + 3 t g - 1 3 t + C

Passo 4

x =   - 3 t g - 1 t + 3 t g - 1 3 t + C

Para t = 1, x =   - 3 π 4

x = - 3 t g - 1 1 + 3 t g - 1 3 + C  

- 3 π 4 = - 3 ⋅ π 4 + 3 ⋅ π 3 + C

- 3 π 4 = - π 3 4 + π + C

- C = - π 3 4 + π +   3 π 4

- C = π   |   C =   - π

Logo:

x =   - 3 t g - 1 t + 3 t g - 1 3 t - π  

Resposta

x =   - 3 t g - 1 t + 3 t g - 1 3 t - π  

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