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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 25

25 - Densidade constante Determine o momento em torno do eixo x de um fio de densidade constante que se situe ao longo da curva y = x de x = 0 até x   =   2 .

Passo 1

Assim:

y = x 1 2

d y = 1 2 x - 1 2   d x

Com os limites de 0 até 2, montamos a seguinte função para integrar:

d x =   d x 2 + d y 2

Assim:

d x =   1 2 + 1 2 ⋅ x - 1 2 2 = 1 + 1 4 x d x

Inserindo na integral teremos:

δ ∫ 0 2 x 1 + 1 4 x d x

Passo 2

Vamos passar: x para dentro da raiz:

δ ∫ 0 2 x 2 ⋅ 1 + 1 4 x d x = δ ∫ 0 2 x + 1 4 d x

Vamos substituir considerando:

t = x + 1 4

Substituindo:

δ ∫ 0 2 t d t = δ ∫ 0 2 t 1 2 d t =   δ t 1 2 + 1 1 2 + 1 0 2 = δ t 3 2 3 2 0 2 = δ 2 t 3 3 0 2 =   δ 2 t t 3 0 2

Passo 3

Substituindo para t = x + 1 4

δ 2 ( x + 1 4 ) x + 1 4 3 0 2 = 2 δ 3 x + 1 4 x + 1 4 0 2

Inserindo os limites de integração:

2 δ 3 2 + 1 4 2 + 1 4 - 0 + 1 4 1 4 = 2 δ 3 9 4 9 4 - 1 4 ⋅ 1 2 = 2 δ 3 9 4 ⋅ 3 2 - 1 8 = 2 δ 3 27 8 - 1 8

Assim:

2 δ 3 26 8 = 208 δ 24

Simplificando a fração para irredutível teremos:

13 δ 6

Resposta

13 δ 6

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