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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 33

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

33. f x = 3 x + 5   s e   x < - 1 x 2 + 1   s e - 1 ≤ x < 2 7 - x   s e   2 ≤ x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

Para x < - 1 temos:

f x = 3 x + 5

f ' x = 3

Para - 1 ≤ x < 2 temos:

f x = x 2 + 1

f ' x = 2 x

Para 2 ≤ x temos:

f x = 7 - x

f ' x = - 1

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

Podemos ver que nossa derivada para x < - 1 e 2 ≤ x deram uma constante, logo f ' ( x ) para x < - 1 e 2 ≤ x nunca é igual a 0.

Como a descontinuidade de f ' x acontece em x = - 1 e em 2 ≤ x , logo esses pontos são pontos críticos de f .

Para   - 1 ≤ x < 2 :

2 x = 0

⇒ x = 0

Passo 4

Então achamos os valores de x que é ponto crítico de f , que é x = - 1 e x = 0 e x = 2 . Agora vamos ver o valor de f para tais pontos, jogando os x que encontramos na nossa função.

Para x < - 1 , nossa função é:

f x = 3 x + 5

f - 1 = 3 - 1 + 5

= 2

Para - 1 ≤ x < 2 , nossa função é:

f x = x 2 + 1

f 0 = 0 2 + 1

= 1

Para 2 ≤ x , nossa função é:

f x = 7 - x  

f 2 = 7 - 2

= 5

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 3   s e   x < - 1   2 x   s e - 1 < x < 2 - 1   s e   2 < x

Vemos que para:

x < - 1 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que 0 .

- 1 < x < 0 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

0 < x < 2 → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer do intervalo.

x > 2 → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor um qualquer maior que 0 .

Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de - 1 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 2 é ponto máximo, como a função é decrescente antes de 0 e crescente depois do mesmo, logo f x = 1 é ponto mínimo, como a função é crescente antes de 2 e decrescente depois do mesmo, logo f x = 5 é ponto máximo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f - 1 = 2 e f 0 = 1 e f 2 = 5 são extremos relativos.

  2. Em x = - 1 e em x = 0 e em x = 2 ocorre extremo relativo.

  3. f ( x ) é crescente em - ∞ , - 1 , 0 ,   2

  4. f ( x ) é decrescente em [ - 1 ,   0 ] , [ 2 , + ∞ )
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