Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 5

Seja f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 2 . 3 x 2 - 9 . 2 x ⇒

f ' x = 6 x 2 - 18 x

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

6 x 2 - 18 x = 0 ⇒

x 6 x - 18 = 0

Logo:

x = 0

Ou:

6 x - 18 = 0 ⇒

6 x = 18 ⇒

x = 18 6 ⇒

x = 3

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 0 ou x = 3 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = 0 ou x = 3 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < 0 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ 0 < x < 3 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 3 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = 0 temos um ponto de máximo relativo e em x = 3 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 2 é crescente no intervalo ( - ∞ ,   0 ) e ( 3 ,   + ∞ ) , decrescente no intervalo ( 0 ,   3 ) , admite mínimo relativo em x = 3 e máximo relativo em x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio. Demonstre que quando x → ∞ e x cresce mais rapidamente que qualquer polinômio.
Mostre que o valor de : lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ( x + a ) ln ⁡ x é o mesmo, não importando o valor que você atribui à constante a. O que isso nos diz sobre as taxas relativas às quais as funções f x = ln ⁡ (
Demonstre que quando x → ∞ , e x cresce mais rapidamente que x 2 para qualquer inteiro positivo, até mesmo x 1.000.000 . Dica: qual é enésima derivada de x n ?
Em que condições um polinômio de f ( x ) é no máximo da mesma ordem que um polinômio g ( x ) quando x → ∞ ?
Demonstre que, se as funções positivas f ( x ) e g ( x ) crescem a mesma taxa quando x → ∞ então f = O ( g ) e g = O ( f )