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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.3 - Ex. 6

Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.

6 - y = c x 2

Passo 1

Para y = c x 2 , teremos que para c = y x 2

Desta forma: C ' = 0

x 2 y ' - 2 x y x 4 = 0

Logo:

x 2 y ' - 2 x y = x 4 ⋅ 0

x 2 y ' - 2 x y = 0

x 2 y ' = 2 x y

y ' = 2 x y x 2 ⇒ y ' = 2 y x 2

Passo 2

Utlizando a função:

d d y d f x = 2 x 2 - 4 y x 3 = - 2 x 3 4 x 2 y = - x 3 2 x 2 y = - x 2 y

Assim:

d y d x = - x 2 y

Logo:

2 y d y =   - x d x

Integrando:

∫ 2 y   d y =   ∫ - x   d x ⇒ y 2 = - x 2 2

Logo:

y 2 = - x 2 2 + C → y = ± x 2 2 + C

Resposta

y = ± x 2 2 + C

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