Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

2 * x^2 + y^2 = c_{1}^{2}

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, para encontrar trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, primeiro a gente tem que encontrar a equação diferencial tal que:

d y d x = f ( x , y )

No nosso caso, temos:

2 x 2 + y 2 = c 1 2

4 x + 2 y d y d x = 0

d y d x = - 4 x 2 y

d y d x =   - 2 x y

Passo 2

E aí a equação da família ortogonal é dada por:

d y d x =   - 1 f x , y

No nosso caso, temos:

d y d x = y 2 x

E aí agora a gente vai resolver essa equação diferencial para encontrar a função y .

Passo 3

Separando a EDO, temos:

2 x   d y = y   d x

2 d y y = d x x

Integrando os dois lados:

∫ 2 d y y = ∫ d x x

2 ln ⁡ y = ln ⁡ x + c 2

ln ⁡ y 2 x = c 2

y 2 x = c 3

y 2 = x c 3

E essa é a família de trajetórias ortogonais 😉

Resposta

y 2 = x c 3

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