Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 10
Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
Passo 1
E aí, beleza?? Vamos lá resolver mais uma!!
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por , né?
A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser
Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Bom, e são constantes, então podemos usar aquela regrinha da derivada do polinômio mesmo né? Lembrando que do lado esquerdo temos que aplicar regra da cadeia:
Vamos isolar o na equação , só pra aí a gente poder substituir na equação
Belezinha, vamos substituir esse na equação então
Sabemos que a divisão de potências da mesma base resulta na mesma base com a subtração dos expoentes, então
Da mesma forma,
Então, a equação diferencial da família dada é:
Passo 3
Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos
Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Multiplicando em cruz:
Integrando dos dois lados:
Podemos juntar e e formar uma nova constante
Então, multiplicando tudo por mandando tudo pra um lado só, temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim: