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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 43

A região do Exercício 42 é girada em torno da reta y   =   x   -   a para gerar um sólido. Determine o volume desse sólido.

Passo 1

Pelo teorema de Pappus tempo:

2 π ρ A = 2 π ( d i s â n c i a   d o   c e n t r o   p a r a   a   r e t a   x - a ) ( á r e a   d a   r e g i ã o )

Assim teremos que:

y = x - a ,   y =   - x + a

y =   - x + 4 a 3 π

Passo 2

Agora precisamos achar a intersecção das seguintes retas:

x - a =   - x + 4 a 3 π

A s s i m :

x + x = 4 a 3 π + a

2 x = 4 a + 3 a π 3 π

x = 4 a + 3 a π 6 π

Achamos a coordenada x, agora vamos achar a coordenada y:

y = x - a ; y = 4 a + 3 a π 6 π - a

A s s i m :

y = 4 a + 3 a π - 6 a π 6 π = 4 a - 3 a π 6 π

Logo a intersecção de: y = x - a e y = - x + a

4 a + 3 a π 6 π , 4 a - 3 a π 6 π

Passo 3

Assim a distância da centroide para reta será:

4 a + 3 a π 6 π 2 + 4 a 3 π - 4 a 6 π + 3 a π 6 2

Resolvendo teremos:

2 ( 4 a + 3 a π ) 6 π  

A área da região temos do exercício 42, assim o volume será:

V =   2 π 2 4 a + 3 a π 6 π π a 2 2

Resolvendo a multiplicação obteremos:

V = 2 π a 3 4 + 3 π 6

Resposta

2 π a 3 4 + 3 π 6 u . v .

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