Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 29
Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.
29.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Primeiramente, lembre-se que diz ser absolutamente convergente se é convergente. Portanto, a série dada será absolutamente convergente quando a série seguinte for convergente.
Agora, vamos fazer o teste da comparação de limites, vamos supor que e para todo .
Portanto, então e podem convergir ou divergir, é algo meio indefinido.
Para esse caso, e convergem
E nesse caso, e divergem!
Passo 2
Usando o teste da comparação fazendo , temos que
Como esse limite é da forma , aplicando a regra de L’Hospital, nós temos que
Então, de acordo com o teste da comparação, a série absoluta diverge!
Passo 3
Para a série
Fazendo com que , vamos verificar se as condições do teste da série alternada são atendidas
Com isso, a série dada é convergente pelo teste da série alternada, como a série absoluta é divergente, então a série é condicionalmente convergente!
Resposta
Condicionalmente convergente!