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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 4c

Nos Exercícios de 1 a 6, determine o valor funcional exato.

4. c) c o s e c - 1 ( 2 3 )

Passo 1

Temos que achar o valor dessa função inversa da cossecante. Vamos usar uma definição para calcular isso, ok?

Passo 2

Temos a definição que diz que c o s e c - 1 x = 1 2 π -  sec - 1 ⁡ x para x ≥ 1

Até aí, só a definição. Agora quem é o x?

Só substitui o valor de x na definição pra visualizar...

c o s e c - 1 2 3 = 1 2 π -  sec - 1 ⁡ ( 2 3 )

Passo 3

Então, precisamos buscar esse valor de sec - 1 ⁡ ( 2 3 ) , certo? Agora é igual o esquema da questão 3.c

Temos a definição que diz que y = ( sec - 1 ⁡ ) x se x = s e c y

Calma, é tranquilo.

Queremos o valor de y e temos o x , que é 2 3 , certo?

y = s e c - 1   ( 2 3 ) se ( 2 3 ) = s e c y

Só substitui o valor de x na definição.

Show?

Passo 4

Agora, qual valor de y cuja secante é 2 3 ?

Como s e c é 1 c o s :

1 c o s ⁡ ( y ) = 2 3

c o s ⁡ ( y ) = 3 2

Tranquilo né?

Temos y = π 6

Passo 5

Substituir o valor de s e c - 1 , temos isso:

c o s e c - 1 2 3 = 1 2 π -  sec - 1 ⁡ ( 2 3 )  

E agora jogamos o valor da secante inversa...

c o s e c - 1 2 3 = 1 2 π -   π 6

c o s e c - 1 2 3 =   π 3

Pronto

Resposta

c o s e c - 1 2 3 =   π 3

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