Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 3
Nos Exercícios 1-8, encontre a excentricidade da elipse. Em seguida, encontre e desenhe os focos e diretrizes da elipse.
Passo 1
Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?
Primeiramente, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:
A partir disso, teremos as medidas dos e , e poderemos obter, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do foco . Para, enfim, determinarmos a excentricidade, os focos e as diretrizes da elipse.
Cumprindo isso, poderemos traçar o gráfico, com auxílio de um software, destacando os pontos relevantes da elipse.
Simbora?
Passo 2
Pegando a equação dada, vamos simplifica-la, dividindo todos termos por 2:
Assim, temos,
Lembrando que entre os denominadores, o valor de é sempre o do eixo maior.
Como, por Pitágoras:
Então,
Sendo assim, a excentricidade da elipse é:
Os focos da elipse são dados por , logo:
Já as diretrizes da elipse são dadas por , logo:
Passo 3
Traçando o gráfico da elipse, temos:
Onde os pontos em vermelho são os focos e as linhas em verde são as diretrizes.
Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!
Resposta
Excentricidade: . Focos da elipse: . Diretrizes: .