Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 35
Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.
na placa retangular , .
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.
Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um conjunto fechado limitado :
- Determine os valores de nos pontos críticos de em .
- Determine os valores extremos de na fronteira de .
- O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função dada no enunciado:
Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:
Da equação (II), temos:
Substituindo na equação (I):
Voltando na equação (II) para encontrarmos o valor de :
Sendo assim, o único ponto crítico existente é . O valor de neste ponto é:
Passo 2
No ponto (b), consideramos um lado do retângulo de cada vez, que é constituído por quatro segmentos de reta , , e , de acordo com a Figura:
Em , temos . A função:
E definida no intervalo fechado . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:
- onde ;
- onde .
- ;
- .
- ;
- .
- ;
- .
E nos pontos interiores, temos:
Então o ponto interior é .
Passo 3
No segmento , temos :
Definido por , que os candidatos nesse segmento são:
E o ponto interior:
É .
Passo 4
Sobre temos
Definido por , que os candidatos nesse segmento são:
E os pontos interiores são:
Então temos o ponto .
Passo 5
E por último, sobre com :
Definido por , que os candidatos nesse segmento são:
E os pontos interiores são:
Que é um ponto que já encontramos anteriormente: .
Dentre todos os pontos encontrados, podemos observar que o valor máximo é que é e o mínimo é que é ponto .
Finalmente finalizamos, espero que eu tenha conseguido te ajudar, até mais!
Resposta
- Mínimo absoluto: em ;
- Máximo absoluto: em .