Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.7 - Ex. 17
Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções dos Exercícios 1-30.
Passo 1
Oi pessoal, vamos lá fazer esse exercício juntos!
Quando encontrávamos os valores extremos locais de uma função de apenas uma variável, procurávamos os pontos onde o gráfico tinha uma reta tangente horizontal, ou seja, os pontos de máximos e mínimos locais e pontos de inflexão. Já para uma função de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície tenha um plano tangente horizontal. Sendo assim, nesses pontos, procuramos máximos e mínimos e pontos de sela.
Então, se uma função tem um máximo ou mínimo local em e as derivadas parciais de primeira ordem de existem nesses pontos, então e .
Além disso, também sabemos que um ponto interior do domínio de uma função onde tanto como sejam zero ou onde ou ou ambas não existam é um ponto crítico de .
Então primeiramente, iremos calcular as derivadas parciais:
Passo 2
Quando essas derivadas são nulas, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:
Resolvendo esse sisteminha, da equação (I), temos:
Substituindo na equação (II):
Se elevarmos ambos os lados à potência de dois:
Agora vamos fatorar em um produto de quatro termos:
Então temos:
E:
E por fim:
Agora precisamos voltar na equação 1, para descobrirmos os valores de :
- Para :
- Para :
- Para :
Sendo assim, temos os pontos , e .
Passo 3
Com os pontos encontrados no Passo 2, precisamos definir se eles são de máximo, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos relembrar que:
- tem um máximo local em se e em .
- tem um mínimo local em se e em .
- tem um ponto de sela em se em .
Então, vamos descobrir a nossas derivadas da segunda ordem, à partir das derivadas encontradas no Passo 1:
Passo 3
Para o ponto , podemos observar que , então já sabemos que este ponto não é máximo ou mínimo local, sendo assim:
Como o valor encontrado é menor que zero, podemos fizer que é um ponto de sela.
Passo 4
Já o ponto , temos que:
Podemos observar que pode ser um mínimo local, vamos confirmar com:
Podemos observar que o ponto crítico é um mínimo local.
Passo 5
Já o ponto , temos que:
Podemos observar que pode ser um máximo local, vamos confirmar com:
Podemos observar que o ponto crítico é um máximo local.