Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

45. ∑ n = 1 ∞ x n n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Seja a série dada ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ x n n n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 1 ∞ | u n | , onde u n é o n-ésimo termo da série, com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 n + 1 n n x n = lim n → ∞ ⁡ x n n n + 1 n + 1

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n + 1 n

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 1 e 0 = 0 < 1 ,     p a r a   t o d o   x ∈ R

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é .

Passo 2

B – A série converge absolutamente para todo x

C – Não existe valor de x para que a série converge condicionalmente.

Resposta

Respondido acima!

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