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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 45

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

45. ∑ n = 1 ∞ x n n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Seja a série dada ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ x n n n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 1 ∞ | u n | , onde u n é o n-ésimo termo da série, com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 n + 1 n n x n = lim n → ∞ ⁡ x n n n + 1 n + 1

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n + 1 n

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x 1 e 0 = 0 < 1 ,     p a r a   t o d o   x ∈ R

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é ∞ .

Passo 2

B – A série converge absolutamente para todo x

C – Não existe valor de x para que a série converge condicionalmente.

Resposta

Respondido acima!

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Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n ln ⁡ n n / 2
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Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 3 ,a n + 1 = n n + 1 ( a n )
Quais das séries ∑ n = 1 ∞ a n definidas pelas fórmulas nos Exercícios 45-54 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. a 1 = 1 3 ,a n + 1 = a n n