Enunciado

Nos Exercícios 73-78:

a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.

b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos

74. lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Podemos expandir esse limite da seguinte forma

lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 1 + θ + θ 2 2 ! + θ 3 3 ! + … - 1 - θ + θ 2 2 ! - θ 3 3 ! + … - 2 θ θ - θ - θ 3 3 ! + θ 5 5 ! - …

Desenvolvendo os termos

lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 2 θ 3 3 ! - θ 5 5 ! + … θ 3 3 ! - θ 5 5 ! + … = lim θ → 0 ⁡ 2 θ 3 1 3 ! - θ 2 5 ! + … θ 3 1 3 ! - θ 2 5 ! + …

Nós podemos fazer a substituição direta, nós temos que

lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ = lim θ → 0 ⁡ 2 θ 3 1 3 ! - 0 + … θ 3 1 3 ! - 0 + …

Com isso, o limite será igual a

lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ = 2 ∙ 1 3 ! 1 3 ! = 2

Passo 2

B – Pelo gráfico, nós temos que

Podemos perceber que tende a 2 .

Resposta

lim θ → 0 ⁡ e θ - e - θ - 2 θ θ - sen ⁡ θ = 2

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