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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 48

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente.

48. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 2 n + 1 2 n + 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos considerar que a série seja ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ n + 1 x 2 n - 1 3 n . Aplicando o Teste da Razão à série ∑ n = 0 ∞ | u n | , onde u n é n-ésimo termo da série. Com isso,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 1 2 n + 3 2 n + 3 2 n + 1 - 1 n ( x - 1 ) 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ - 1 x - 1 2 ( 2 n + 1 ) 2 n + 3

Desenvolvendo um pouco mais, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3

Separando os termos do limite

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x - 1 2 lim n → ∞ ⁡ 2 + 1 n 2 + 3 n

Com isso, portanto,

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = x - 1 2

Passo 2

A – O raio de convergência é 3 e o intervalo de convergência é 0 < x < 2 .

B - O intervalo de x em que a série converge absolutamente é 0 < x < 2 .

C – Os valores de x em que a série converge condicionalmente são respectivamente x = 0 e x = 2 .

Resposta

Respondido acima!

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