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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 52

Nos Exercícios 49-52, estime a magnitude do erro envolvido no uso da soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da série inteira.

1 1 + t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t n     ,   0 < t < 1

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Dado o termo geral da sequência, a n = t n . Temos que ele satisfaz as seguintes condições:

  1. Todos os termos a n são positivos.
  2. É uma sequência decrescente, ou seja, a n ≥ a n + 1 para todo n.
  3. lim n →  ∞ ⁡ a n = 0 .

Logo, a série é convergente.

Vamos considerar que ∑ n = 0 ∞ - 1 n t n = S   e S n seja a enésima soma parcial.

Sabe-se que,

S - S n ≤ a n + 1

Vamos determinar o erro de magnitude envolvido na suma dos quatro termos iniciais para aproximar o erro da soma total da série.

e r r o = S - S 4 ≤ a 4 + 1 = a 5  

e r r o = - 1 5 t 5 = t 5 < 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

e r r o < 1 .

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