Prove a afirmação do Teorema 15 de que sempre que uma série alternada que satisfaça as condições do Teorema 14 for aproximada por uma das suas somas parciais, então o resto (soma dos termos não utilizados) tem o mesmo sinal que o primeiro termo não utilizado. (Sugestão: agrupe os termos do resto em pares consecutivos.)

Passo 1

Falaaa, seus lindos! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!

Seguindo a sugestão do enunciado, podemos escrever os termos não utilizados como:

∑ j = n + 1 ∞ - 1 j + 1 a j = - 1 n + 1 a n + 1 - a n + 2 + - 1 n + 3 a n + 3 - a n + 4 + …

Assim por diante.

Passo 2

Isso equivale a:

∑ j = n + 1 ∞ - 1 j + 1 a j = - 1 n + 1 [ a n + 1 - a n + 2 + a n + 3 - a n + 4 + … ]

Passo 3

É fácil a gente notar que todos os termos que são agrupados são positivos, logo o “resto” tem o mesmo sinal de - 1 n + 1 , que é o sinal do primeiro termo não utilizado.

Resposta

Sempre que uma série alternada que satisfaça as condições

do Teorema 14 for aproximada por uma das suas somas parciais, então o resto (soma dos termos não utilizados) tem o mesmo sinal que o primeiro termo não utilizado.

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