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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 4

Os Exercícios 1-6 fornecem equações paramétricas e intervalos paramétricos para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando uma equação cartesiana para ela. Desenhe a equação cartesiana e indique a direção do movimento e a porção traçada pela partícula.

x = - 2 c o s t   ,   y = 2 s e n t ; 0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Nesse problema iremos começar transformando a equação parametrizada em equação cartesiana para podermos compreendê-la melhor e podemos traçar o seu gráfico.

Simbora?

Passo 2

Como x = - 2 c o s t e y = 2 s e n t observe que ao somarmos os quadrados dessas equações, temos:

x 2 + y 2 = - 2 c o s t 2 + 2 s e n t 2

x 2 + y 2 = 4 c o s 2 t + 4 s e n 2 t

x 2 + y 2 = 4 ( c o s 2 t + s e n 2 t )

Da identidade trigonométrica c o s 2 t + s e n 2 t = 1 , temos que:

x 2 + y 2 = 1

Esta é a equação de uma semicircunferência com centro na origem e raio 1.

Seu gráfico será dado por:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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