Exercícios de Parametrizações com Geometria - Lista de Exercícios Resolvida

A reta que passa pela origem e faz ângulo com o eixo , intercepta a circunferência no ponto . Seja o ponto médio do segmento na figura abaixo. Determine as coordenadas de em função do ângulo . Perceba que, quando varia entre e , o ponto percorre a curva da figura.

Uma haste, presa na origem do plano , ocupa a posição da reta . A haste intercepta a reta no ponto e a elipse no ponto (figura). Quando varia, o vértice do triângulo descreve uma curva.

Escreva as equações paramétricas dessa curva em função do parâmetro .

A involuta de uma circunferência é a curva traçada pelo ponto de extremidade de um fio quando o mesmo, mantido tenso, é desenrolado de um carretel fixo (figura). Supondo que o centro do carretel está colocado na origem do plano e seu raio é , e que o fio começa a se desenrolar no ponto . Mostre que as equações paramétricas da Involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel são:

e ,

Utilizando como parâmetro o ângulo mostrado na figura.

Escreva equações vetorial e paramétricas para os planos:

b) que passa por

Obtenha equações do lugar geométrico (ou seja, para o conjunto) dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em e outra em e descreva-o geometricamente.

(a) e

Uma circunferência de raio rola sem escorregar ao longo do eixo . Encontre equações paramétricas para a curva descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente na origem. (Esta curva é chamada ciclóide, veja a Figura 1(b))

Um barbante é enrolado ao redor de um círculo, e então desenrolado sendo mantido esticado. A curva formada pelo ponto , no final do barbante, é chamada de involuta do círculo. Suponha que o círculo tem raio e centro , e que a posição final de seja . Se o parâmetro for escolhido como na figura, encontre as equações paramétrias da involuta.

Considere a curva , descrita pelo ponto , para , como na figura:

Onde o raio da circunferência é 1.

Uma parametrização de é:

5. Nenhuma das demais alternativas.

Parametrize a curva C definida por

E esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Dados o ponto e a reta , ache os pontos da reta r que distam do ponto A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a ? Por quê?

(Cap. 13.2 - Ex. 27) Encontre uma equação para a reta tangente à curva de intersecção dos cilindros e no ponto .

Obtenha uma equação vetorial da reta t perpendicular com as retas

Obtenha equações da reta r que contém o ponto e é concorrente à reta , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a .

Obtenha uma equação geral do plano que contém e forma um ângulo de com o plano .

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

Seja o campo vetorial . Seja a curva como a interseção do cilindro e o plano , orientada no sentido horário.

1. Represente a integral de linha do campo vetorial sobre a curva através de uma integral simples definida.
2. Determine o valor do campo vetorial sobre a curva .

Uma curva parametrizada em coordenadas polares é uma curva

onde da forma

Note que

Assim o comprimento do arco da curva é dada pela equação:

Usando isto, calcule o comprimento de arco quando da curva

A reta que passa pela origem e faz ângulo com o eixo , intercepta a circunferência no ponto . Seja o ponto médio do segmento na figura abaixo. Determine as coordenadas de em função do ângulo . Perceba que, quando varia entre e , o ponto percorre a curva da figura.

Sejam e . Calcule:

a)

Sejam e . Calcule:

b)

Sejam e . Calcule:

c)

Sejam e . Calcule:

d) x

Esboce a trajetória das curvas planas abaixo.

Esboce a trajetória das curvas espaciais abaixo.

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

1. S é a parte da esfera interior ao cone ;
2. S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
3. S é a parte do plano que é interior ao cilindro
4. S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
5. S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
6. S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
8. S é a parte da esfera com ;
9. S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;

Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações r : X = (0, 0, 0)Σ + λ(1, 2, 4) ,

λ ∈ R, e s : X = (1, 0, −2) + λ(1, 1, 1) , λ ∈ R. As trajetórias são concorrentes? Haverá colisão?

Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A = (2 , 0 , −3) e:

(a) é paralela à reta que passa pelos pontos B = (1 , 0 , 4) e C = (2 , 1 , 3).

(b) é paralela a

(c) é paralela à reta s :

O plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =

(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +

λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.

(a) Obtenha uma equação geral para cada um dos três planos.

Sendo o vetor um vetor normal ao plano que passa pelo ponto , escrever as equações paramétricas de .

O plano contém A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), o plano contém Q =

(−1, −1, 0) e é paralelo a ⃗u = (0, 1, −1) e ⃗v = (1, 0, 1), e o plano tem equação X = (1, 1, 1) +

λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1), λ, µ ∈ R.

(b) Mostre que a interseção dos três planos se reduz a um único ponto. Qual é este ponto?

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

, ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

1. as retas r e s sejam paralelas e não coincidentes;

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

, ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

c) as retas r e t sejam concorrentes;

Dadas as retas r, s e t cujas equações são dadas por:

, ,

encontrar os valores de m ∈ R de modo que:

d) as retas r e s sejam reversas.

Determine a projeção ortogonal do ponto P = (4, 0, 1) sobre o plano π : 3x − 4y + 2 = 0.

Determine a projeção ortogonal da reta sobre o plano .

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

1. S é a parte da esfera interior ao cone ;
2. S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
3. S é a parte do plano que é interior ao cilindro
4. S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
5. S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
6. S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
8. S é a parte da esfera com ;
9. S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

1. S é a parte da esfera interior ao cone ;
2. S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
3. S é a parte do plano que é interior ao cilindro
4. S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
5. S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
6. S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
8. S é a parte da esfera com ;
9. S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;

Determine uma representação paramétrica de cada uma das superfícies abaixo e calcule sua área:

1. S é a parte da esfera interior ao cone ;
2. S é a parte do cilindro compreendida entre os planos ;
3. S é a parte do plano que é interior ao cilindro
4. S é a parte parabolóide hiperbólico que está entre os cilindros
5. S é a parte do cilindro que está no interior do cilindro , onde ;
6. S é a parte da esfera que está no interior do cilindro , onde ;
7. S é o toro obtido pela rotação da circunferência no plano com centro e raio em torno do eixo
8. S é a parte da esfera com ;
9. S é a parte do parabolóide limitada pela superfície ;