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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 28

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = 6x + x² -x³ , pelo eixo x e pelas retas x = 3 e x = -1

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [3 ,-1 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 6 x i +   x 2 i -   x ³ i   ) ∆ x i =   ∫ - 1 3 6 x + x 2 - x ³   d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ - 1 3 6 x + x 2 - x ³   d x =   3 x 2 + 1 3 x 3 - 1 4 x 4 x = - 1 3  

= 3   3 2 - 1 + 1 3 3 3 - ( - 1 ) - 1 4 3 4 - 1

= 40/3

Resposta

∫ - 1 3 6 x + x 2 - x ³   d x = 40 3

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Faça o gráfico de f ( x ) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de comprimento igual. Em seguida, adicione os retângulos associados com a soma de Riemann ∑ k = 1 4 f ( c k ) Δ
Faça o gráfico de f ( x ) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de comprimento igual. Em seguida, adicione os retângulos associados com a soma de Riemann ∑ k = 1 4 f ( c k ) Δ
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