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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.5 - Ex. 26

Expresse a medida da área exata da região pelo Limite da Soma de Riemann e Integral . E depois, Calcule essa área.

Limitada pela reta y = 10 + x – x² , pelo eixo x e pelas retas x = -2 e x = 3

Passo 1

Soma de Riemann

∑ i = 1 n f x i ∆ x i  

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x i =   ∫ a b f ( x ) d x

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Queremos a área embaixo da curva e limitada pelo intervalo de x ∈   [3 ,-2 ]

Então essa área pode ser expressa como :

lim ∆ x → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( 10 +   x i - x ² i ∆ x i =   ∫ - 2 3 10   +   x   –   x ² d x

Passo 3

Calculando A área por integração :

∫ - 2 3 10   +   x   –   x ² d x =   10 x + 1 2 x 2 - 1 3 x ³ x = - 2 3  

= 10 3 - - 2 + 1 2 3 2 - ( - 2 ) 2 - 1 3 (   3 3 - - 2 3 )

= 245/6

Resposta

∫ - 2 3 10   +   x   –   x ² d x = 245 6

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Faça o gráfico de f ( x ) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de comprimento igual. Em seguida, adicione os retângulos associados com a soma de Riemann ∑ k = 1 4 f ( c k ) Δ
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Determine a fórmula para a soma de Riemann obtida dividindo o intervalo [ a , b ] em n subintervalos iguais e usando a extremidade direita para cada c k . Depois, tome o limite dessas somas quando n →
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