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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 19

Expresse as somas em formas fechadas.

sum_(k = 1)^(n - 1) (k^3)/(n^2)

Passo 1

Aqui o nosso n tá sendo a constante, e o k é a variável. Vamos começar separando isso:

(1)/(n^2) sum_(k = 1)^(n - 1) k^3

E agora a gente recorre ao teorema que transforma esse somatório assim:

sum_(k = 1)^n k^3 = [(n (n + 1))/(2)]^2

Lembra que no nosso somatório o n é n - 1 . Aplicando isso no nosso então temos...

Passo 2

sum_(k = 1)^(n - 1) k^3 = [((n - 1) (n - 1 + 1))/(2)]^2

= [(n (n - 1))/(2)]^2

Show! Agora a gente junta com a constante que tá multiplicando ali:

= (1)/(n^2) [(n (n - 1))/(2)]^2

= (1)/(n^2) [(n^2 (n - 1)^2)/(4)]

Simplificamos e...

((n - 1)^2)/(4)

E prontinho!

Resposta

((n - 1)^2)/(4)

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