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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 14

  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = 3 x + 6 ,   s e   x < 1 x - 4 ,   s e   x ≥ 1   ,   [ - 2 ,   4 ]

Passo 1

Como f é uma função por partes, é preciso observar seu comportamento em cada intervalo de x para poder esboçar o gráfico da função. Observe que 3 x + 6 e x - 4 são funções do primeiro grau, logo seus gráficos são retas. Vamos atribuir alguns valores para x e observar o comportamento de f .

→ Se   x = - 2   então f x = 3 x + 6 e:

f - 2 = 3 - 2 + 6 = - 6 + 6 = 0

→ Se   x = 0   então f x = 3 x + 6 e:

f 0 = 3 0 + 6 = 0 + 6 = 6

→ Se   x = 1   então f x = x - 4 e:

f 1 = 1 - 4 = - 3

→ Se   x = 4   então f x = x - 4 e:

f 4 = 4 - 4 = 0

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo [ - 2 ,   4 ] temos:

Passo 2

Observe que 3 x + 6 e x - 4 são funções polinomiais, então f é contínua em [ - 2 ,   1 ) e ( 1 ,   4 ] . Precisamos verificar sua continuidade quando x = 1 . Assim:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ 3 x + 6 = 3 1 + 6 = 9

lim x → 1 ∓ ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x - 4 = 1 - 4 = - 3

Como lim x → 1 - ⁡ f x ≠ lim x → 1 ∓ ⁡ f x , temos que f não é contínua em x = 1 . Portanto, a função f não é contínua em [ - 2 ,   4 ] . Não sendo contínua neste intervalo, temos a garantia de que f não será derivável em ( - 2 ,   4 ) .

Observe que f - 2 = f 4 = 0 .

Resposta

Portanto, f só satisfaz uma das três condições do teorema de Rolle, logo não é possível aplicá-lo.

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No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = x 2 3 ; 0 , 1
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = x 3 + x 2 - x ; -
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = 1 - s e n x ; 0 ,
No exercício a seguir, comprove o teorema do valor médio para a equação dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio f x = 1 + c o s x ; - π