Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.3 - Ex. 11
- Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
- Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
- Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.
Passo 1
Vamos substituir alguns pontos do intervalo na função e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.
Fazendo o esboço de no intervalo temos:
Passo 2
Como é a subtração de funções contínuas, temos que é contínua em todo seu domínio, em particular também será continua em .
Como e são deriváveis em , temos que também é derivável neste intervalo.
Observe que , logo satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Assim, existe tal que .
Passo 3
Pelas regras de derivação temos:
Como queremos , temos:
Substituindo em temos:
Racionalizando:
Resposta
As três condições do teorema de Rolle são satisfeitas e no ponto tem-se uma reta tangente horizontal.
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