Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x sqrt(4 - x^2)

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos dizer.

f ( x ) = x sqrt(4 - x^2)

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde - 2 <= x <= 2 , pois qualquer valor fora desse intervalo ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) está presa no intervalo [ - 2,2 ] .

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0 e x = +- 2 temos que , f (x) = 0 , ou seja,

f (0) = 0 sqrt(4 - 0^2) = 0 sqrt(4 - 0) = 0 sqrt(4) = 0

E,

f (2) = 2 sqrt(4 - (2)^2) = 2 sqrt(4 - 4) = 2 sqrt(0) = 2.0 = 0

Além disso,

f (- 2) = - 2 sqrt(4 - (- 2)^2) = - 2 sqrt(4 - 4) = - 2 sqrt(0) = - 2.0 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x três vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Utilizando o fato de sqrt(4 - x^2) = (4 - x^2)^(1 // 2) e pela regra do produto teremos,

f^' (x) = (1) . (4 - x^2)^((1)/(2)) + x . ((1)/(2) . ((4 - x^2)^((1)/(2) - 1)))

= (4 - x^2)^((1)/(2)) + (x)/(2) . (4 - x^2)^(- (1)/(2)) ( - 2 x )

= (4 - x^2)^((1)/(2)) - x^2 . (4 - x^2)^(- (1)/(2))

= (4 - x^2)^((1)/(2)) - (x^2)/((4 - x^2)^( (1)/(2)))

= (( 4 - x^2 ) - x^2)/((4 - x^2)^( (1)/(2)))

= (4 - 2 x^2)/((4 - x^2)^( (1)/(2)))

Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente

f^(' ') (x) = (- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) - ( 4 - 2 x^2 ) ( (1)/(2) ( (4 - x^2)^(- (1)/(2)) ( - 2 x ) ) ))/(((4 - x^2)^( (1)/(2)))^2)

= (- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) - ( 4 - 2 x^2 ) ( (1)/(2) ( (4 - x^2)^(- (1)/(2)) . ( - 2 x ) ) ))/(4 - x^2)

= (- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) - ( 4 - 2 x^2 ) ( - x (4 - x^2)^(- (1)/(2)) ))/(4 - x^2)

= (- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) + (4 - 2 x^2) ((x)/((4 - x^2)^((1)/(2)))))/(4 - x^2)

= (- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) + (4 - 2 x^2) ((x)/((4 - x^2)^((1)/(2)))))/(4 - x^2)

= [- 4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)) + (4 - 2 x^2) ((x)/((4 - x^2)^((1)/(2))))] . (1)/(4 - x^2)

= - (4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)))/(4 - x^2) + ((x)/((4 - x^2)^((1)/(2))))

Passo 4

Vamos agora identificar se f ' ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = (4 - 2 x^2)/((4 - x^2)^( (1)/(2))) = 0

4 - 2 x^2 = 0

4 = 2 x^2

x = +- sqrt(2)

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que, para valores dentro do intervalo ( 0 , sqrt(2) ) x = sqrt(2) , f ( x ) assume valores negativos (crescente). E para valores dentro do intervalo ( sqrt(2) , 2 ) , isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo (- 2,2) . Assim, x = sqrt(2) , f ( x ) irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, x = sqrt(2) é um ponto de máximo no intervalo de ( 0,2 ) .

Já, para valores dentro do intervalo ( - 2 , sqrt(2) ) x = - sqrt(2) , f ( x ) assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo ( - sqrt(2 ,) 0 ) isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo (- 2,2) . Assim, x = - sqrt(2) , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = - sqrt(2) é um ponto de mínimo no intervalo de ( - 2,0 ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ' ' ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = - (4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)))/(4 - x^2) + ((x)/((4 - x^2)^((1)/(2)))) = 0

(4 x (4 - x^2)^( (1)/(2)))/(4 - x^2) = (x)/((4 - x^2)^((1)/(2)))

(4 x (4 - x^2)^())/(4 - x^2) = x

4 x = x

3 x = 0

x = 0

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - sqrt(2) , 0 ) x = 0 , f ( x ) assume valores positivos (concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , sqrt(2) ) x = 0 , f ( x ) irá assumir valores negativos (concavidade baixo ). Logo, x = 0 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - sqrt(2) , sqrt(2) ) .

Sendo assim, x = 0 é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há mudança de concavidade.

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

Sabemos que para encontrar assíntotas horizontais temos de calcular o limite de f (x) quando x -> +- oo , ou seja, quando x atinge valores muuuito altos (positivos ou negativos), porém, quando analisamos no domínio da f , vemos que ela está limitada dentro do intervalo [ - 2,2 ] . Sendo assim, calcular o underset(x -> +- oo)(lim) f (x)

Seria algo redundante, já que essa função só pode percorrer o intervalo de [ - 2,2 ] .

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)
Obtenha um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais e verticais e dê suas equações. Identifique (se houver)