Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 36
Faça o gráfico da curva
Passo 1
Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos dizer.
Observe que o domínio de corresponde , pois qualquer valor fora desse intervalo ocasionaria em uma raiz quadrada negativa, que é algo que não existe no conjunto dos números Reais .
Sendo assim, o gráfico de está presa no intervalo .
Passo 2
Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo
Com isso percebemos que para e temos que ou seja,
E,
Além disso,
Logo, o gráfico de toca o eixo três vezes.
Passo 3
Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,
Utilizando o fato de e pela regra do produto teremos,
Calculando a segunda derivada utilizando a regra do quociente
Passo 4
Vamos agora identificar se possui pontos críticos
Em relação aos pontos de críticos temos que
Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.
Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (crescente). E para valores dentro do intervalo isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo Assim, , irá assumir valores negativos (decrescente). Logo, é um ponto de máximo no intervalo de
Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (decrescente). E para valores dentro do intervalo - isso pois o domínio da função está limitado ao intervalo Assim, , irá assumir valores positivos (crescente). Logo, é um ponto de mínimo no intervalo de
Passo 5
Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades dele.
Perceba que , para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos (concavidade baixo ). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de
Sendo assim, é um ponto de inflexão para , ou seja, há mudança de concavidade.
Passo 6
Para finalizar verificaremos se possui assíntotas verticais ou horizontais.
Sabemos que para encontrar assíntotas horizontais temos de calcular o limite de quando , ou seja, quando atinge valores muuuito altos (positivos ou negativos), porém, quando analisamos no domínio da , vemos que ela está limitada dentro do intervalo . Sendo assim, calcular o
Seria algo redundante, já que essa função só pode percorrer o intervalo de.
No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto no domínio de que faça com que
Logo, não possui assíntotas verticais.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)