Enunciado

Seja f uma função derivável em [ a , b ] . No Capítulo 2, definimos a taxa de cariação média de f ao longo de [ a , b ] como

f b - f a b - a

E a taxa de variação instantânea de f em x   como f ' ( x ) . Neste capítulo, definimos o valor médio de uma função. Para que a nova definição de média seja coerente com a anterior, deveríamos ter

f b - f a b - a = v a l o r   m é d i o   d e   f ' e m   [ a , b ]

Isso ocorre? Justifique sua resposta.

Passo 1

Sim.

O Teorema do Valor Médio diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então em algum ponto c existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x

E por definição, temos que a integral definida é dada por:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim, podemos reescrever o valor médio da seguinte maneira:

f c = 1 b - a   ∫ a b f x d x = f ' b - f ' a b - a  

Portanto a afirmação f b - f a b - a = v a l o r   m é d i o   d e   f ' e m   [ a , b ]

é verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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