Seja uma função derivável em . No Capítulo 2, definimos a taxa de cariação média de ao longo de como

E a taxa de variação instantânea de em como . Neste capítulo, definimos o valor médio de uma função. Para que a nova definição de média seja coerente com a anterior, deveríamos ter

Isso ocorre? Justifique sua resposta.

Sim.

O Teorema do Valor Médio diz que se exitir uma função contínua em um certo intervalo , então em algum ponto existirá o seu valor médio, que é calculado da seguinte maneira :

E por definição, temos que a integral definida é dada por:

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim, podemos reescrever o valor médio da seguinte maneira:

Portanto a afirmação

é verdadeira.