Enunciado

Faça o gráfico da função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.

y = | x ² - 2 x |

Passo 1

E aí, preparado para resolver mais essa questão sobre transformação de gráficos e funções? Bora lá!

Bom, essa questão pede pra gente desenhar o gráfico da função y = | x ² - 2 x |

sem fazer isso ponto a ponto.

Isso é, usaremos uma das funções básicas que estão na seção 1.2 do livro e aplicaremos as transformações necessárias para transformá-la nessa daí. Isso vai ajudar a gente a desenhar esse gráfico de maneira mais rápida e fácil.

Show de bola. Vamos ver quais são as características dessa função e qual a função básica que mais se parece com ela para fazer as mudanças adequadas. Vem que te ajudo com isso.

Passo 2

Temos que fazer o gráfico de:

y = | x ² - 2 x |

Só que pra isso não podemos montar a tabelinha e marcar pontos, precisamos usar o gráfico de uma função já conhecida e aplicar transformações. Então, vamos olhar com calma para tudo que temos nessa função.

Repara que é uma função modular, e que dentro dela temos uma função de segundo grau.

Então vamos fazer as alterações aos poucos, ok?

Vamos começar com a função básica

f x = x 2

O gráfico dela é uma parábola com concavidade voltada para cima. Assim:

Mas nossa função é:

y = x 2 - 2 x

Então vamos fazer algumas transformações para desenhar seu gráfico corretamente.

Passo 3

Podemos começar transformando a função em um quadrado perfeito. Veja:

x 2 - 2 x = x 2 - 2 x + 1 - 1

Que pode ser escrito com:

x 2 - 2 x = x - 1 2 - 1

Agora a função se torna:

y = x - 1 2 - 1

Que se parece com nossa função base, se fizermos

X = x - 1

Teremos:

f X = X 2 - 1

Que é a parábola deslocada uma unidade para baixo, já que estamos subtraindo 1 em X 2 .

E nosso gráfico se torna:

Passo 4

Além disso, nossa função também tem um deslocamento horizontal já que

y = x - 1 2 - 1

e

X = x - 1

Isso quer dizer que

x = X + 1

E temos que deslocar nosso gráfico uma unidade para a direita. Assim:

f ( x - 1 ) = x - 1 2 - 1

Show, já temos nosso gráfico quase pronto. Mas ainda precisamos lembrar que a função é modular.

Passo 5

O módulo fará com que nossa função tenha a parte abaixo do eixo x seja refletida.

Esse processo nos dará o gráfico da função desejada:

E prontinho. Gráfico plotado.

Resposta

A função y = | x ² - 2 x |

Tem como gráfico

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