Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 17
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a equação
E nosso objetivo é mostrar que essa equação possui apenas uma única solução real.
Parece complicado?
A primeira coisa que vamos fazer é transformar essa equação em uma função... se fizermos , vamos obter
Para essa função ter apenas uma única raiz, ela deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente...
Então podemos responder esse problema calculando a derivada dessa função e analisando o seu comportamento.
A inclinação de uma curva em um ponto é determinada pela sua derivada, então esperamos encontrar que ou para todos os valores de .
Além disso, pelo Teorema do Valor Médio (TVM) temos que ter um valor e outro para que obrigatoriamente termos um valor tal que .
Saca só!
Passo 2
Vamos começar aplicando o TVM...
Nosso polinômio da função tem um grau muito alto, então vamos tentar encontrar um valo , tal que , podemos chutar que , ou seja
Agora vamos determinar um valor tal que ... pra isso podemos chutar , ou seja
Dessa forma, como é uma função polinomial e portanto, continua em todo o conjunto podemos afirmar que existe um valor dentro do intervalo que satisfaz .
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de para verificar a inclinação da função ...
Pela regra da potência, temos que
Perceba que é sempre crescente pois as potencias de são pares e não tem nenhum termo que subtrai na função... logo, podemos afirmar que para todo .
Dessa forma, como discutimos no passo 1. A equação possui apenas um valor de .
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
Provamos pelo TVM e pela inclinação de .