Mostre que a equação 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0

E nosso objetivo é mostrar que essa equação possui apenas uma única solução real.

Parece complicado?

A primeira coisa que vamos fazer é transformar essa equação em uma função... se fizermos f x = 0 , vamos obter

f x = 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5

Para essa função ter apenas uma única raiz, ela deve ser estritamente crescente ou estritamente decrescente...

Então podemos responder esse problema calculando a derivada dessa função e analisando o seu comportamento.

A inclinação de uma curva em um ponto é determinada pela sua derivada, então esperamos encontrar que f ' x > 0 ou f ' x < 0 para todos os valores de x .

Além disso, pelo Teorema do Valor Médio (TVM) temos que ter um valor f a < 0 e outro f b > 0 para que obrigatoriamente termos um valor c tal que f c = 0 .

Saca só!

Passo 2

Vamos começar aplicando o TVM...

Nosso polinômio da função f x tem um grau muito alto, então vamos tentar encontrar um valo a , tal que f a < 0 , podemos chutar que a = - 1 , ou seja

f x = 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5

f - 1 = 1 + 2 - 1 + - 1 3 + 4 - 1 5

f - 1 = - 6

Agora vamos determinar um valor b tal que f b > 0 ... pra isso podemos chutar b = 0 , ou seja

f x = 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5

f 0 = 1 + 2 0 + 0 3 + 4 0 5

f 0 = 1

Dessa forma, como f x é uma função polinomial e portanto, continua em todo o conjunto R podemos afirmar que existe um valor x = c dentro do intervalo - 1,0 que satisfaz f c = 0 .

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f para verificar a inclinação da função f ...

Pela regra da potência, temos que

f ' x = 1 0 + 2 x 1 - 1 + 3 x 3 - 1 + 4 5 x 5 - 1

f ' x = 2 + 3 x 2 + 20 x 4

Perceba que f ' é sempre crescente pois as potencias de x são pares e não tem nenhum termo que subtrai na função... logo, podemos afirmar que f ' x > 0 para todo R .

Dessa forma, como discutimos no passo 1. A equação 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0 possui apenas um valor de x .

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Provamos pelo TVM e pela inclinação de f .

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