Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 42
Se e forem números fixos, encontre equações paramétricas para a curva que consiste de todas as posições possíveis do ponto na figura, usando o ângulo como parâmetro. Então elimite o parâmetro e identifique a curva. O segmento de reta é tangente ao círculo maior.
Passo 1
Queremos as coordenadas do ponto em função de , certo?
Vamos imaginar dois triângulos retângulos nessa figura, assim:
Então temos o triângulo menorzinho, que é o triângulo e o triangulo maior, que é o triangulo , beleza?
E ah, importante! Como o enunciado disse que a reta é tangente, isso significa que ela faz um ângulo de graus com a circunferência, de modo que o triangulo também tá um triângulo retângulo, tá certo?
Se você reparar pela figura podemos dizer que as coordenadas do nosso ponto são
Só precisamos descobrir a medida desses segmentos e teremos a parametrização que queremos.
Passo 2
Como estamos falando de dois triângulos retângulos, podemos usar relações com seno e cosseno, assim, essas duas medidas saem rapidamente, olha só:
Do triangulo menor:
E do triangulo maior:
ATENÇÃO que dessa vez o não é a hipotenusa do triângulo e sim um dos catetos! Não vai errar isso hein!!!
Isso significa que a parametrização da nossa curva é:
Passo 3
Agora precisamos eliminar o parâmetro e identificar que curva é essa em termos de e , ou seja, dizer a equação cartesiana dessa curva.
Bom, a ideia é a gente tentar isolar o parâmetro, mas como ele está associado a um seno e cosseno, vamos isolar o seno e o cosseno:
Agora o que que a gente usa toda vez que a gente quer se livrar de seno e cosseno?
Relação fundamental da trigonometria!!!!!
E isso, por mais estranho que pareça, é a equação de uma hipérbole.
Resposta
A curva é uma hipérbole.