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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 33c

Encontre equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move ao longo do círculo

x 2 + y - 1 2 = 4

Meia volta no sentido anti-horádio, a partir de ( 0,3 ) .

Passo 1

Fala galerinha. De boa por ai?

O objetivo desta questão é encontrar as equações paramétricas que descrevem a trajetória de uma partícula que se move ao longo de um círculo específico, no sentido horário, começando em um ponto determinado. O círculo é definido pela equação x ² + ( y - 1 ) ² = 4 , e o ponto inicial é ( 0,3 .

Que tal começarmos com uma listinha de passo a passo?

  1. Entender a equação do círculo, verificar o centro e o raio.
  2. Parametrizar o movimento
  3. Ajustar para o sentido horário
  4. Verificar o ponto inicial
  5. Construir as equações paramétricas finais

Agora é só começar!!! Bora

Passo 2

Vamos entender nossa equação?

x 2 + y - 1 2 = 4

Temos o Centro

x 0 , y 0 = ( 0,1 )

e raio

r = 2

Passo 3

Vamos primeiramente parametrizar a circunferência:

Substituindo x 0 , y o = 0,3

Para x ( t )

x t = x 0 + r cos ⁡ t

x ( t ) = 0 + 2 cos ⁡ t

x t = 2 cos ⁡ t

Para y ( t )

y t = y 0 + r sen ⁡ t

y ( t ) = 1 + 2 sen ⁡ t

t ∈ 0 ,   2 π

Passo 4

Agora vamos identificar em que tempo t 0 a partícula inicia sua trajetória. Temos

x t 0 ,   y t 0 = 0,3

2 cos ⁡ t 0 , 1 + 2 sen ⁡ t = ( 0,3 )

Então

2 cos ⁡ t 0 = 0 1 + 2 sen ⁡ t 0 = 3 ⇒ t 0 = π 2

Passo 5

Agora vejamos em que intervalo varia o parâmetro t .

A partícula dá meia volta, logo, faz meia rotação, ou seja, ela anda π . Como ela começa a trajetória dela em t 0 = π 2 , ela vai andar de π 2 até π 2 + π = 3 π 2 .

Assim,

t ∈ π 2 , 3 π 2

Passo 6

Agora temos que ver a questão do sentido de rotação.

Ela tá girando no sentido anti-horário. Isso significa que não temos que mudar o sinal da parametrização. Assim, a parametrização fica:

x = 2 cos ⁡ t y = 1 + 2 sen ⁡ t ,   t ∈ π 2 , 3 π 2

Resposta

x = 2 cos ⁡ t y = 1 + 2 sen ⁡ t ,   t ∈ π 2 , 3 π 2

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