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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.5 - Ex. 35

Indicamos, neste problema, um procedimento 7 diferente para resolver a equação diferencial

y ' ' + b y ' + c y = D 2 + b D + c y = g ( t )

em que b e c   são constantes, e D denota diferenciação em relação a t . Sejam r 1 e r 2 os zeros do polinômio característico da equação homogênea associada. Essas raízes podem ser reais e distintas, reais e iguais, ou números complexos conjugados.

Verifique se a E q .   ( i ) pode ser escrita na forma fatorada

( D   –   r 1 ) ( D   –   r 2 ) y   =   g ( t )

em que r 1   +   r 2   =   – b e r 1 r 2   =   c .

Seja u   =   ( D   –   r 2 ) y . Mostre que a solução da E q .   ( i ) pode ser encontrada resolvendo as duas equações de primeira ordem a seguir:

( D   –   r 1 ) u   =   g ( t ) ,     ( D   –   r 2 ) y   =   u ( t ) .

Passo 1

(a ) Nesse item, devemos conferir se a equação pode ser escrita da forma fatorada se fizermos as substituições corretas!

Quando:   r 1   +   r 2   =   – b e r 1 r 2   =   c .

y ' ' + b y ' + c y = D 2 + b D + c y = g ( t )

Podemos igualar:

D   –   r 1 D   –   r 2 y = D 2 + b D + c y

Substituindo os termos b e c :

D   –   r 1 D   –   r 2 = D 2 - r 1 D - r 2 D + r 1 r 2

D   –   r 1 D   –   r 2 = D 2 - ( r 1 + r 2 ) D + r 1 r 2

= D 2 + b D + C

Podemos chamar :

b = - ( r 1 + r 2 )

- b = ( r 1 + r 2 )

Então:

r 1 r 2 = c

Passo 2

(b) Agora devemos encontrar u resolvendo as equações dadas:

Se u = ( D - r 2 ) y e ( D   –   r 1 ) ( D   –   r 2 ) y   =   g ( t ) , iremos separar:

D - r 1 u = g ( t )

D - r 2 y = u ( t )

Vamos assumir que y 1 será a solução de:

D - r 1 u = g ( t ) D - r 2 y = u ( t )

Com essas condições podemos isolar y 1 = y :

Onde:

D - r 2 y 1 = u ( t )

y 1 = u t D - r 2

Então, podemos assumir:

D   –   r 1 D   –   r 2 y 1 = D - r 1 u ( t ) = g ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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