Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 30
Suponha que e que é uma solução de . Mostre que, se para qualquer desses , então tem solução. Note que isso é a recíproca do Problema 28; a forma da solução é dada pelo Problema 29.
Sugestão: O que a relação diz sobre as linhas de ? Novamente, pode ajudar considerar o caso primeiro.
Passo 1
O resultado pode seguir um resultado padrão em álgebra linear que afirma que ( é o intervalo de espaço de é o espaço de vetores ortogonais para todos os vetores no espaço nulo de ). O principal resultado disso é que, se é um subespaço de um espaço dimensional , qualquer elemento do espaço pode ser escrito como , onde e é ortogonal a todos os elementos de . No entanto, esse resultado não foi desenvolvido no Capítulo 7, então faremos de maneira diferente. Existem três partes para isso.
Passo 2
Passo 1:
Se é dada como a enésima linha de (simbolicamente, o ponto preto significa todos os índices da coluna).
Suponha que a quinta linha da matriz aumentada possa ser escrita como uma combinação linear das outras linhas e se sem a enésima linha. Quando é solução para , a remoção de uma linha não afeta a igualdade, então temos. Se temos , precisamos verificar se a "linha ausente" satisfaz a equação. Desde que a enésima linha de seja linearmente dependente das outras linhas, podemos escrever e , e portanto, temos
Em particular, desde que tenha linhas linearmente dependentes, podemos remover uma linha sem alterar o espaço da solução e, portanto, podemos continuar esse processo até que todas as linhas restantes sejam linearmente independentes.
Passo 3
Passo 2:
Suponha que y seja diferente de zero e e . A primeira equação pode ser escrita como e a segunda . Isso pode ser escrito e, portanto, possui pelo menos uma linha que pode ser escrita como uma combinação linear das outras (já que pelo menos um elemento de é diferente de zero). Além disso, desde que tenha linhas linearmente dependentes, podemos encontrar alguns envolvendo essas linhas, de modo que (significando e
Assim, combinando e podemos assumir que estamos tentando resolver um sistema reduzido da forma onde as linhas desão linearmente independentes. Mostraremos que esse sistema sempre tem uma solução.
Passo 4
Parte 3:
Suponha que estamos procurando uma solução para o sistema , onde as linhas de são linearmente independentes. Considere a matriz essa matriz quadrada possui colunas linearmente independentes e, portanto, é invertível. Para ver isso, suponha , então e, como as colunas de são linearmente independentes, temos . Portanto, e, portanto, é invertível.
Agora considere o sistema , vemos que a solução é . Como , vemos que resolve o problema e, portanto, o sistema original tem uma solução.
Observe que a parte da solução também pode ser resolvida executando operações de linha apropriadas eme mostrando que a matriz reduzida possui uma estrutura do tipo triangular superior que sempre pode ser resolvida de maneira direta.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)