Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 26
A inversão do açúcar O processo do açúcar não refinado tem um passo chamado " inversão", que altera a estrutura molecular do açúcar. Uma vez iniciado o processo, a taxa de variação da quantidade de açúcar não refinado é proporcional à quantidade de açúcar não refinado remanescente. Se de açúcar não refinado é reduzido a durante as primeiras horas, quanto restará após outras 14 horas?
Passo 1
Inicialmente ,utilizaremos as informações do enunciado para identificar qual o tipo de EDO estamos, lidando. Note que como a taxa de variação da quantidade de açúcar não refinado é proporcional à quantidade de açúcar não refinado remanescente, então uma constante de proporcionalidade , de maneira que
Para resolver essa EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de e do outro todo mundo que depende de .
Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que
Portanto, a solução da EDO é da forma,
Assim,
Onde,
Como desejamos encontrar apenas , então
Considerando teremos,
Passo 2
Perceba que temos um problema de valor inicial, quando o enunciado pergunta .....
Ou seja, o que ele quer dizer é que
quanto .Sendo assim,
Por outro lado, quando temos que .Utilizaremos essas informações para encontrar o valor de . Com isso,
Portanto,
e
Passo 3
Para horas, pois lembre-se estamos contando depois de terem sido passadas depois de iniciar o processo de inversão, teremos que
Ou seja, depois de horas restará aproximadamente de açúcar não refinado.