Esgotamento de petróleo. Suponha que a quantidade de petróleo bombeada de um dos poços do canyon em Whittier, na Califórnia, tenha diminuído a uma taxa contínua de 10% ao ano.

Quando a produção do poço atingirá um quinto de seu valor atual?

Passo 1

Perceba que estamos lidando com a lei de crescimento exponencial, sendo que a equação que trabalharemos será da forma,

P = P 0 e k t

Como sabemos que a taxa está diminuindo a 10 % ao ano. Então, para t = 1 , a quantidade de petróleo bombeada será a uma taxa 90 % do valor inicial, ou seja,

0,9 P 0 = P 0 e k . 1 ⇒ 0,9 = e k

⇒ e k = 0,9 ⇒ ln ⁡ e k = ln ⁡ 0,9  

⇒ k = l n ⁡ ( 0,9 )

Quando a produção do poço cai para um quinto do seu valor presente, significa que

P = 1 5 P 0 ⇒ P = 0,2   P 0

Sendo assim,

0,2   P 0 = P 0 e l n ⁡ ( 0,9 ) t ⇒ 0,2   = e l n ⁡ ( 0,9 ) t

⇒ l n ⁡ ( e l n ⁡ ( 0,9 ) t ) = l n ⁡ ( 0,2 ) ⇒ l n ⁡ ( 0,9 ) t = l n ⁡ ( 0,2 )

⇒ t = ln ⁡ 0,2 ln ⁡ 0,9 ≈ 15,28

Portanto, a produção do poço atingirá um quinto de seu valor atual em 15,28 anos.

Resposta

t ≈ 15,28

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