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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 31

Incidência de uma doença (Continuação do Exemplo 3.) Suponha que em determinado ano o número de casos de uma doença seja reduzido em 25 % em vez de 20 % .

a. Quanto tempo levará para reduzir o número de casos a

1.000 ?

b. Quanto tempo levará para erradicar a doença, isto é, reduzir o número de casos para menos de 1 ?

Passo 1

Pelo exemplo 3 obtemos que a equação

y = y 0 e k t

E que, y 0 = 1.000 . Dessa maneira,

y = 10.000 e k t

Como sabemos que no curso de um ano qualquer, o número de casos de uma doença foi reduzido em 25 % . Então teremos que para t = 1 , o número de casos será 75 % de seu valor presente, ou seja, 7.500 . Assim,

7.500 = 1.000 e k . 1 = 1.000 e k ⇒ e k = 7.500 10.000

⇒ e k = 0,75 ⇒ ln ⁡ e k = ln ⁡ 0,75  

⇒ k = l n ⁡ ( 0,75 )

Logo,

y = 10.000 e l n ⁡ ( 0,75 ) t

Passo 2

Para y = 1.000 teremos que

1.000 = 10.000 e ln ⁡ 0,75 t ⇒ e ln ⁡ 0,75 t = 1.000 10.000 = 0,1  

⇒ ln ⁡ e ln ⁡ 0,75 t = ln ⁡ 0,1 ⇒ ln ⁡ 0,75 t = ln ⁡ 0,1

⇒ t = ln ⁡ 0,1   ln ⁡ 0,75 ≈ 8,00

Isso significa que levará aproximadamente de 8 anos para reduzir o número de casos até 1.000 .

Passo 3

Para y = 1 teremos que

1 = 10.000 e ln ⁡ 0,75 t ⇒ e ln ⁡ 0,75 t = 1 10.000 = 0,0001  

⇒ ln ⁡ e ln ⁡ 0,75 t = ln ⁡ 0,0001 ⇒ ln ⁡ 0,75 t = ln ⁡ 0,0001

⇒ t = ln ⁡ 0,0001   ln ⁡ 0,75 ≈ 32,02

Isso significa que levará aproximadamente mais de 32,2 anos para reduzir o número de casos até   menos de 1 .

Resposta

Item a. t ≈ 8,00

Item b. t ≈ 32,02

Ver Outros Exercícios desse livro

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Em cada um dos problemas de 1 a 32,resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicia,l encontre,também, a solução que satisfaz. d y d t = 1 + c o s t 2 - s e n y
x y ' = y + x e y / x
d y d x = x 2 - 1 y 2 + 1 , y - 1 = 1
e x + 1 d y d x = y - y e x
d y d x = x + y x - y