Demonstre que

lim x→2 1/x = 1/2

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei a lhe ajudar na resolução desta atividade.

Assim como nos demais problemas desta seção, devemos demonstrar o limite usando a definição formal.

Para isso, para todo número ϵ > 0 , deve existir um δ > 0 tal que

0 < | x - a | < δ ⇒ | f ( x ) - L | < ϵ

Neste caso, temos a = 2 , f ( x ) = 1 / x e L = 1 / 2 . Assim, devemos encontrar um δ (em função de ϵ ) tal que

0 < | x - 2 | < δ ⇒ 1 x - 1 2 < ϵ

Então nosso foco deve ser em achar δ que permita essa relação ser válida!!!

Passo 2

Note que

1 x - 1 2   = x - 2 2 x = | x - 2 | 2 | x |  

Tomemos por exemplo | x - 2 | < 1 ⇒   - 1 < x - 2 < 1 ⇒   1 < x < 3 . Bom, se x > 1 , então

1 x < 1 ⇒ 1 2 | x | < 1 2

Então para que o limite exista, uma escolha que se mostrará suficiente é δ = m i n { 1 ,   2 ϵ } pois

| x - 2 | 2 | x |   = | x - 2 | ⋅ 1 2 | x | < 2 ϵ ⋅ 1 2 = ϵ

Passo 3

Agora vamos de fato mostrar que essa escolha para δ é suficiente para demonstrar o limite!

Como δ = m i n { 1 ,   2 ϵ } , então δ ≤ 1 e δ ≤ 2 ϵ . Se δ ≤ 1 , então | x - 2 | < δ ≤ 1 . Assim, como | x - 2 | < 1 , segue (como vimos no passo 2) que

1 2 | x | < 1 2

Além disso, como δ ≤ 2 ϵ , temos que | x - 2 | < 2 ϵ . Desta forma, temos que

0 < | x - 2 | < δ ⇒ 1 x - 1 2 = | x - 2 | 2 | x |   = | x - 2 | ⋅ 1 2 | x | < 2 ϵ ⋅ 1 2 = ϵ

Provamos assim que o limite existe e vale 1 / 2 . Vale mencionar que outras escolhas para δ também são possíveis para a demonstração.

Resposta

Demonstração.

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