Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 42
Demonstre, usando a definição 6, que
Passo 1
O enunciado pede para demostrarmos que o limite é infinto usando a definição 6, assim, devemos mostrar que para todo , existe um número tal que se , então .
Bom, sei que parece estranho e soa um pouco “matematiquês” demais essa definição, mas vamos lá, não é tão difícil quanto parece...
O que precisamo fazer é para um número postivo qualquer denotado por , achar um número que será função de tal que para ponto próximos de por uma distância menor que , o valor da função será maior do que . Assim provamos que cresce indefinidamente quando se aproxima de e assim o limite tende a .
Passo 2
Antes de começarmos, vamos fazer uma mudança de variável: . Quando , . Assim, queremos calcular
Devemos mostrar então que
Passo 3
Para resolver o limite encontrado no passo 2, devemos achar tal que se , então . Assim, devemos achar tal que
se , então
Por outro lado, se, e somente se,
Desta forma,
Assim, se tomarmos , temos que
se então
De fato, se , então implica em . Desta forma, temos que e assim .
Assim provamos que
Desta forma provamos o que foi pedido.
Resposta
Demonstração.