Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 23
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite por meio de conceitos de e vistos nessa seção 2.4:
Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso.
Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite.
A definição precisa de limite diz que se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Em outras palavras, o que devemos fazer é que para um dado número , vamos achar um outro número (que será dado em função de ) que satisfaça a relação dada.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Neste passo vamos deduzir um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Seja um número dado, devemos achar tal que
se então
Como neste caso , devemos achar tal que
se então
Assim, devemos achar tal que a primeira afirmação implique na segunda.
Note que se tomarmos a relação exposta acima é satisfeita pois é menor que , então também será menor que já que .
Poderíamos tomar também pois se então (se um número é menor que ele serpa também menor que ).
Vemos assim que a escolha não é única e neste caso bastaria escolher qualquer !!!
Por simplicidade, vamos tomar .
No próximo passo vamos efetivamente demonstrar que o limite vale .
Passo 3
Tomando , temos que se
Então
Assim, para todo , existirá um que satisfaça a definição.
Resposta
Demonstração