Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 9
Uma massa de é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é e o sistema inteiro é então submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações de movimento se
(a) o peso parte do repouso de um ponto a abaixo da posição de equilíbrio; e
(b) o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 12 m/s para cima
Passo 1
E aíí cara, bora lá?
O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial
Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:
No nosso caso, temos , e como “oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea”, temos .
Além disso, temos
Então:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução:
Agora vamos encontrar as condições iniciais em cada um dos casos beleza? E aí encontraremos os valores de e
Passo 2
(a) Nesse item, temos que o peso parte do repouso de um ponto a abaixo da posição de equilíbrio.
Dessa forma, temos que as condições iniciais são e
Aplicando essas condições iniciais em
E
Encontramos e , então, para esse caso, a equação de movimento é
Passo 3
(b) Agora temos que o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 12 m/s para cima
Então, e
Aplicando essas condições iniciais em
E
Encontramos e , então, para esse caso, a equação de movimento é
E é isso meu jovem