Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 9
Uma massa de kg é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é N/m e o sistema inteiro é então submerso em um liquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a vezes a velocidade instantânea. Determine as equações de movimento se
- O peso parte do repouso de um ponto a m abaixo da posição de equilíbrio; e
- O peso parte de um ponto 1 abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de .
Passo 1
Olá, vamos resolver essa atividade comigo hoje?
A gente tem uma situação aqui de massa e mola amortecido, que é resolvido utilizando uma EDO:
Onde do enunciado tiramos algumas informações, sabemos que:
E do trecho, “o sistema inteiro é então submerso em um liquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a vezes a velocidade instantânea” sabemos então que:
Além disso a constante elástica da mola é:
Isso transforma nossa EDO em:
Temos então uma EDO linear de segunda ordem, que tem como solução:
Onde são as raízes solução da equação homogênea. Vamos então encontra-las primeiro, e depois disso iremos partir para a resolução das letras a) e b).
Passo 2
A EDO é:
E sua homogênea associada é encontrada substituindo as derivadas:
Teremos então que:
E
Teremos então que a solução é:
Agora sim vamos a resolução da nossa atividade.
Passo 3
- Nessa situação temos que o peso parte do repouso quando em um ponto a abaixo da posição de equilíbrio.
- A nossa situação agora é: O peso parte de um ponto 1 abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de .
Dessa forma, a condição inicial que temos é que, quando:
E
Se substituirmos na solução geral:
Portanto, teremos:
Derivando
Substituindo e :
Portanto:
Resolvendo o sistema de equações e :
Da segunda equação:
Substituímos na primeira:
Substituindo na equação :
Portanto, a solução para o caso a) é:
Passo 4
As condições agora são:
Usando a condição
Derivando :
Substituímos e
Resolvendo o sistema de equação:
Da primeira equação:
Substituímos na segunda:
Consequentemente:
Isso nos dá:
Substituímos na equação :
Portanto, a solução para o caso b) é: