Enunciado

Uma massa de 1   k g é atada a uma mola cuja constante de elasticidade é 16   N / m e o sistema inteiro é então submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações de movimento se

(a) o peso parte do repouso de um ponto a 1   m abaixo da posição de equilíbrio; e

(b) o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 12 m/s para cima

Passo 1

E aíí cara, bora lá?

O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 1   k g , e como “oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea”, temos β = 10 .

Além disso, temos k = 16   N / m

Então:

1 d 2 x d t 2 + 10 d x d t + 16 x = 0

Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução:

x t = c 1 . e - 2 t + c 2 . e - 8 t

Agora vamos encontrar as condições iniciais em cada um dos casos beleza? E aí encontraremos os valores de c 1 e c 2

Passo 2

(a) Nesse item, temos que o peso parte do repouso de um ponto a 1   m abaixo da posição de equilíbrio.

Dessa forma, temos que as condições iniciais são x 0 = 1 e x ' 0 = 0

Aplicando essas condições iniciais em

x t = c 1 . e - 2 t + c 2 . e - 8 t

E

x ' ( t ) = - 2 c 1 . e - 2 t - 8 c 2 . e - 8 t

Encontramos c 1 = 4 3 e c 2 = - 1 3 , então, para esse caso, a equação de movimento é

x t = 4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t

Passo 3

(b) Agora temos que o peso parte de um ponto 1 m abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade de 12 m/s para cima

Então, x 0 = 1 e x ' 0 = - 12

Aplicando essas condições iniciais em

x t = c 1 . e - 2 t + c 2 . e - 8 t

E

x ' ( t ) = - 2 c 1 . e - 2 t - 8 c 2 . e - 8 t

Encontramos c 1 = - 2 3 e c 2 = 5 3 , então, para esse caso, a equação de movimento é

x t = - 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t

E é isso meu jovem

Resposta

a )   x t = 4 3 . e - 2 t - 1 3 . e - 8 t

b )   x t = - 2 3 . e - 2 t + 5 3 . e - 8 t

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