Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 7
Um peso de 125 g é atado a uma mola de constante elástica igual a . O meio oferece uma resistência ao movimento do peso numericamente igual à velocidade instantânea. Se o peso parte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 8 m/s para baixo, determine o instante em que o peso passa pela posição de equilíbrio. Calcule o instante no qual o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição do peso nesse instante?
Passo 1
Falaa meu jovem, vamos lá?
O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial
Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:
No nosso caso, temos , , e como “O meio oferece uma resistência ao movimento do peso numericamente igual à velocidade instantânea”, temos , então:
O enunciado também fala que “o peso parte de um ponto 1 m acima da posição de equilíbrio com uma velocidade de 8 m/s para baixo”
Então temos:
Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?
Passo 2
Temos:
Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:
Aplicando as condições iniciais, encontramos
Então, nossa solução é
Passo 3
Primeiro vamos encontrar o momento em que o peso passa pela posição de equilíbrio, ou seja, em :
O termo nunca vai ser 0, então nos resta:
Então, o peso passa na posição de equilíbrio em beleza?
Passo 4
Agora vamos calcular o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo, bora:
Primeiro temos que achar a derivada de :
Agora vamos encontrar o ponto extremo igualando isso a 0:
Agora vamos substituir esse ponto de extremo na nossa função , que aí a gente vai ter a posição do peso nesse momento de extremo:
Ufa, acabamossss
Resposta
O peso atinge a posição de equilíbrio em
Passa pelo extremo em , sendo a posição nesse instante igual