Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 29
29. a) Mostre que:
b) Encontre um número que seja maior do que para cada que satisfaça .
c) Preencha as lacunas para completar a prova de que:
Suponha que . Tome e suponha que . Então:
Passo 1
a) Então pessoal, a igualdade que nos foi dada é essa aqui ó:
Simplificando o lado esquerdo teremos:
Agora o que temos que fazer é resolver essa equação do segundo grau para encontrar as raízes da função. Precisamos fazer isso para escrever a equação na forma fatorada, ok? Então bora lá!
Passo 2
Da equação que nos foi dada temos:
Achando as raízes:
Na forma fatorada, temos que:
Para a nossa equação, teremos:
Como queríamos provar!
Passo 3
b) Então galera, a condição que nos foi dada é:
Disso podemos tirar que:
Para , temos que:
Mas como só pode ser menor do que , então:
E essa é a nossa resposta!
Passo 4
c) De início temos que calcular o para nosso limite, ok? Da definição de limite temos que:
Se, para qualquer número , pudermos encontrar um número tal que:
Sendo assim:
Mas só se:
Comparando as duas condições, temos que:
Passo 5
De acordo com o que calculamos no passo , teremos que:
Os valores em negrito são as lacunas que preenchemos, ok? Aqui utilizamos apenas os dados que encontramos nos outros passos, galera! E está aí nosso resultado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)